[NOIP2017 普及组] 棋盘

题目背景

NOIP2017 普及组 T3

题目描述

有一个 $m \times m$ 的棋盘，棋盘上每一个格子可能是红色、黄色或没有任何颜色的。你现在要从棋盘的最左上角走到棋盘的最右下角。

任何一个时刻，你所站在的位置必须是有颜色的（不能是无色的），你只能向上、下、左、右四个方向前进。当你从一个格子走向另一个格子时，如果两个格子的颜色相同，那你不需要花费金币；如果不同，则你需要花费 $1$ 个金币。

另外，你可以花费 $2$ 个金币施展魔法让下一个无色格子暂时变为你指定的颜色。但这个魔法不能连续使用，而且这个魔法的持续时间很短，也就是说，如果你使用了这个魔法，走到了这个暂时有颜色的格子上，你就不能继续使用魔法；只有当你离开这个位置，走到一个本来就有颜色的格子上的时候，你才能继续使用这个魔法，而当你离开了这个位置（施展魔法使得变为有颜色的格子）时，这个格子恢复为无色。

现在你要从棋盘的最左上角，走到棋盘的最右下角，求花费的最少金币是多少？

输入格式

第一行包含两个正整数 $m, n$ ，以一个空格分开，分别代表棋盘的大小，棋盘上有颜色的格子的数量。

接下来的 $n$ 行，每行三个正整数 $x, y, c$ ，分别表示坐标为 $(x,y)$ 的格子有颜色 $c$ 。

其中 $c=1$ 代表黄色， $c=0$ 代表红色。相邻两个数之间用一个空格隔开。棋盘左上角的坐标为 $(1, 1)$ ，右下角的坐标为 $(m, m)$ 。

棋盘上其余的格子都是无色。保证棋盘的左上角，也就是 $(1, 1)$ 一定是有颜色的。

输出格式

一个整数，表示花费的金币的最小值，如果无法到达，输出 $-1$ 。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

数据规模与约定

对于 $30\%$ 的数据, $1 ≤ m ≤ 5, 1 ≤ n ≤ 10$ 。

对于 $60\%$ 的数据, $1 ≤ m ≤ 20, 1 ≤ n ≤ 200$ 。

对于 $100\%$ 的数据, $1 ≤ m ≤ 100, 1 ≤ n ≤ 1,000$ 。

题目分析

输入输出样例 1 说明

从 $(1,1)$ 开始，走到 $(1,2)$ 不花费金币

从 $(1,2)$ 向下走到 $(2,2)$ 花费 $1$ 枚金币

从 $(2,2)$ 施展魔法，将 $(2,3)$ 变为黄色，花费 $2$ 枚金币

从 $(2,2)$ 走到 $(2,3)$ 不花费金币

从 $(2,3)$ 走到 $(3,3)$ 不花费金币

从 $(3,3)$ 走到 $(3,4)$ 花费 $1$ 枚金币

从 $(3,4)$ 走到 $(4,4)$ 花费 $1$ 枚金币

从 $(4,4)$ 施展魔法，将 $(4,5)$ 变为黄色，花费$ 2$ 枚金币，

从 $(4,4)$ 走到 $(4,5)$ 不花费金币

从 $(4,5)$ 走到 $(5,5)$ 花费 $1$ 枚金币

共花费 $8 $枚金币。

输入输出样例 2 说明

从 $( 1, 1)$ 走到 $( 1, 2)$ ,不花费金币

从 $( 1, 2)$ 走到 $( 2, 2)$ ,花费$ 1 $金币

施展魔法将 $( 2, 3)$ 变为黄色,并从 $( 2, 2)$ 走到 $( 2, 3)$ 花费$ 2$ 金币

从 $( 2, 3)$ 走到 $( 3, 3)$ 不花费金币

从 $( 3, 3)$ 只能施展魔法到达 $( 3, 2),( 2, 3),( 3, 4),( 4, 3)$

而从以上四点均无法到达 $( 5, 5)$ ,故无法到达终点,输出 $-1$

阅读完题面可发现，题目要求的是：最小的花费金币数，也就是路径元素总和的最小值。

且题目整体是在一个棋盘中，形似一个迷宫。那么，很容易联想到，迷宫问题，我们只需求出所有的路径，比较里面的最小路径总和即可。

行走的方式：上、下、左、右四个方向。

对于金币的花费情况进行分类：

两个格子颜色相同，花费0金币
两个格子颜色不同，花费1金币
施展魔法，花费2金币

可看到，特殊之处就是在于“魔法”这个因素。仔细阅读与“魔法”相关的信息。

施展的对象是无色格子
施展效果为，让下一个格子变为你当前所处格子的颜色
魔法不能连续使用，且持续时间短
1. 走到本身有颜色的会补充魔法
2. 走到暂时有颜色的，无法使用魔法

那么在搜索过程中不断去更新位置、颜色，魔法等相关信息即可。由于是找所有的路径，那么加上深搜加回溯即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int dx[]={-1,1,0,0};
int dy[]={0,0,-1,1};
int m,n;
int chess[105][105];
int vis[105][105];
int mins=2e9;
void dfs(int x,int y,int col,int mag,int sum){
// 当前位置，当前颜色，魔法使用情况，花费的金币
	if(x==m&&y==m){
		mins=min(mins,sum);
		return ;
	}
	for(int i=0;i<4;i++){
		int nx=x+dx[i],ny=y+dy[i];
		if(nx<1||nx>m||ny<1||ny>m||vis[nx][ny]==1) continue;
		if(chess[nx][ny]==col){//同色
			vis[nx][ny]=1;
			dfs(nx,ny,col,0,sum);
			vis[nx][ny]=0;
		}else if(chess[nx][ny]==-1){//无色
			if(mag==0){//可以使用魔法
				vis[nx][ny]=1;
				dfs(nx,ny,col,1,sum+2);
				vis[nx][ny]=0;
			}
		}else{//异色
			vis[nx][ny]=1;
			dfs(nx,ny,chess[nx][ny],0,sum+1);
			vis[nx][ny]=0;
		}
	}
}

int main(){
	memset(chess,-1,sizeof(chess));
	int x,y,c;
	cin>>m>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>x>>y>>c;
		chess[x][y]=c;
	}
	vis[1][1]++;//标记起点
	dfs(1,1,chess[1][1],0,0);
	if(mins==2e9){
		cout<<-1;
	}else{
		cout<<mins;
	}
	return 0;
}

此时能对11个点。

优化

暴力搜索的一个优化方向就是剪枝，也就是当前状态已不符合条件，且后序的状态都不符合条件时就不在继续搜索下去。

我们要寻找最小值，当不断走下去，总的金币数只会越来越多，那么当前若不满足条件，后序就更不会满足条件了。

65分

void dfs(int x,int y,int col,int mag,int sum){
// 当前位置，当前颜色，魔法使用情况，花费的金币
	if(x==m&&y==m){
		mins=min(mins,sum);
		return ;
	}
	if(sum>=mins) return;//当前的金币已大于等于存储的最小值
	...
}

沿用之前的优化思路，若到达一个地方的花费金币数已经比之前记录的金币数更多了那么也就没必要继续搜索下去了。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int dx[]={-1,1,0,0};
int dy[]={0,0,-1,1};
int m,n;
int chess[105][105];
bool vis[105][105];
int ans[105][105];
void dfs(int x,int y,int col,int mag,int sum){
// 当前位置，当前颜色，魔法使用情况，花费的金币
//当前的金币已大于等于存储的最小值
	if(sum>=ans[x][y]) return ;
	ans[x][y]=sum;
	if(x==m&&y==m){
		return ;
	}
	for(int i=0;i<4;i++){
		int nx=x+dx[i],ny=y+dy[i];
		if(nx<1||nx>m||ny<1||ny>m||vis[nx][ny]==1) continue;
		if(chess[nx][ny]==col){//同色
			vis[nx][ny]=1;
			dfs(nx,ny,col,0,sum);
			vis[nx][ny]=0;
		}else if(chess[nx][ny]==-1){//无色
			if(mag==0){//可以使用魔法
				vis[nx][ny]=1;
				dfs(nx,ny,col,1,sum+2);
				vis[nx][ny]=0;
			}
		}else{//异色
			vis[nx][ny]=1;
			dfs(nx,ny,chess[nx][ny],0,sum+1);
			vis[nx][ny]=0;
		}
	
	}
}

int main(){
	memset(chess,-1,sizeof(chess));
	memset(ans,0x3f,sizeof(ans));
	int x,y,c;
	cin>>m>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>x>>y>>c;
		chess[x][y]=c;
	}
	vis[1][1]=1;
	dfs(1,1,chess[1][1],0,0);
	if(ans[m][m]==0x3f3f3f3f){
		cout<<-1;
	}else{
		cout<<ans[m][m];
	}
	return 0;
}

【题解】[NOIP2017普及组]棋盘