题目描述

给定 n 个正整数 $a_i$ ，求它们在模 p 意义下的乘法逆元。

由于输出太多不好，所以将会给定常数 k，你要输出的答案为：

$$ \sum\limits_{i=1}^n\frac{k^i}{a_i} $$

答案对 p 取模。

输入格式

第一行三个正整数 n,p,k，意义如题目描述。
第二行 n 个正整数 $a_i$，是你要求逆元的数。

输出格式

输出一行一个整数，表示答案。

输入输出样例

输入 #1

6 233 42
1 4 2 8 5 7

输出 #1

91

说明/提示

对于 30% 的数据，$1\le n \le 10^5$。

对于 100% 数据，$1\le n \le 5\times 10^6，2\le k < p \le 10^9，1\le a_i < p$，保证 p 为质数。

题目分析

将题目要求的式子展开

$$ \frac{k^1}{a_1}+\frac{k^2}{a_2}+\cdots +\frac{k^n}{a_n} $$

我们进行通分，可得

$$ \frac{k^1a_2\cdots a^n+k^2a_1a_3\dots a_n+\cdots+k^na_1\cdots a_{n-1}}{a_1a_2\dots a_n}(\mod p) $$

同余连续性对于除法来说是不成立的，可以利用逆元，将除法转化为乘法。

$a/b\equiv ax (\mod m)$，x为b的逆元。

计算$a/b$这样的除法算式，可以先把a,b各自对模数p取模，再计算$a\times b^{-1}(\mod m)$作为最终的结果。

$$ ans=(k^1a_2\cdots a^n+\cdots+k^na_1\cdots a_{n-1})\times({a_1a_2\dots a_n})^{-1}(\mod p) $$

利用费马小定理求逆元：$inv=a^{p-2}\%p$

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=5e6+5;
typedef long long ll;
int n,p,k;
ll mypow(ll x,ll n,int M){//快速幂
    if(n==0) return 1%M;
    ll tmp=mypow(x,n/2,M)%M;
    if(n&1) return tmp*tmp%M*x%M;
    else return tmp*tmp%M;
}
int main(){
    ll a,fz=0,fm=1;
    scanf("%d%d%d",&n,&p,&k);
    ll cf=k%p;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a);
        //当前分子： 前面的分子 * 新分母 + 之前分母*当前分子 
        fz=(fz*a%p+fm*cf%p)%p;
        cf=cf*k%p;
        fm=fm*a%p;
    }
    printf("%lld",fz*mypow(fm,p-2,p)%p);
    return 0;
}