题目描述
给定 n 个正整数 $a_i$ ,求它们在模 p 意义下的乘法逆元。
由于输出太多不好,所以将会给定常数 k,你要输出的答案为:
$$ \sum\limits_{i=1}^n\frac{k^i}{a_i} $$
答案对 p 取模。
输入格式
第一行三个正整数 n,p,k,意义如题目描述。
第二行 n 个正整数 $a_i$,是你要求逆元的数。
输出格式
输出一行一个整数,表示答案。
输入输出样例
输入 #1
6 233 42
1 4 2 8 5 7
输出 #1
91
说明/提示
对于 30% 的数据,$1\le n \le 10^5$。
对于 100% 数据,$1\le n \le 5\times 10^6,2\le k < p \le 10^9,1\le a_i < p$,保证 p 为质数。
题目分析
将题目要求的式子展开
$$ \frac{k^1}{a_1}+\frac{k^2}{a_2}+\cdots +\frac{k^n}{a_n} $$
我们进行通分,可得
$$ \frac{k^1a_2\cdots a^n+k^2a_1a_3\dots a_n+\cdots+k^na_1\cdots a_{n-1}}{a_1a_2\dots a_n}(\mod p) $$
同余连续性对于除法来说是不成立的,可以利用逆元,将除法转化为乘法。
$a/b\equiv ax (\mod m)$,x为b的逆元。
计算$a/b$这样的除法算式,可以先把a,b各自对模数p取模,再计算$a\times b^{-1}(\mod m)$作为最终的结果。
$$ ans=(k^1a_2\cdots a^n+\cdots+k^na_1\cdots a_{n-1})\times({a_1a_2\dots a_n})^{-1}(\mod p) $$
利用费马小定理求逆元:$inv=a^{p-2}\%p$
代码实现
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=5e6+5;
typedef long long ll;
int n,p,k;
ll mypow(ll x,ll n,int M){//快速幂
if(n==0) return 1%M;
ll tmp=mypow(x,n/2,M)%M;
if(n&1) return tmp*tmp%M*x%M;
else return tmp*tmp%M;
}
int main(){
ll a,fz=0,fm=1;
scanf("%d%d%d",&n,&p,&k);
ll cf=k%p;
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld",&a);
//当前分子: 前面的分子 * 新分母 + 之前分母*当前分子
fz=(fz*a%p+fm*cf%p)%p;
cf=cf*k%p;
fm=fm*a%p;
}
printf("%lld",fz*mypow(fm,p-2,p)%p);
return 0;
}
6 条评论
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