题目描述
一个如下的 $6 \times 6$ 的跳棋棋盘,有六个棋子被放置在棋盘上,使得每行、每列有且只有一个,每条对角线(包括两条主对角线的所有平行线)上至多有一个棋子。
上面的布局可以用序列 $2\ 4\ 6\ 1\ 3\ 5$ 来描述,第 i 个数字表示在第 i 行的相应位置有一个棋子,如下:
行号 $1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6$
列号 $2\ 4\ 6\ 1\ 3\ 5$
这只是棋子放置的一个解。请编一个程序找出所有棋子放置的解。
并把它们以上面的序列方法输出,解按字典顺序排列。
请输出前 3 个解。最后一行是解的总个数。
输入格式
一行一个正整数 n,表示棋盘是$ n \times n$ 大小的。
输出格式
前三行为前三个解,每个解的两个数字之间用一个空格隔开。第四行只有一个数字,表示解的总数。
输入输出样例
输入#1
6
输出#1
2 4 6 1 3 5
3 6 2 5 1 4
4 1 5 2 6 3
4
说明/提示
对于 $100\%$的数据,$6 \le n \le 13$。
思路分析
对于行数n来说,范围不太大,并且每行确定一个,每一列放不放棋子也就两种选择,这样就能用状态压缩的思路去解决这个问题。我们用0表示没选,1表示选了。
对于本题,还有一个难点在于对角线不能重复,对角线分两条,一条左倾,一条右倾。
对于左倾对角线,在某行y列占位,那么影响的是下一行y+1列,也就是只要右移一位就好。对应的右倾对角线也只要左移一位就好。
代码实现
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n,all,cnt=0;
int rk[15];
int Log[32768];
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
void init(){//初始化 Log, Log[x] == log2(x)
Log[1]=0;Log[2]=1;
for(int i=3;i<=all+1;i++){
Log[i]=Log[i/2]+1;
}
}
void dfs(int state,int lx,int rx,int d){//标记列的影响 斜方向1 斜方向2 行数
if(state==all){//当每一列都放好棋子
cnt++;//统计数量
if(cnt<=3){//前三个
for(int i=0;i<n;i++)//输出每一行棋子的列
printf("%d ",rk[i]);
printf("\n");
}
}
int vis=all&(~(state|lx|rx));//合并 列 、 两条对角线的状态
while(vis){
int x=lowbit(vis);//求lowbit,找空位
int j=Log[x];// 求出列号(j+1)
rk[d]=j+1;//存储 位置
vis-=x;
// 列 左倾对角线 右倾对角线 行数
dfs(state|x,(lx+x)>>1,(rx+x)<<1,d+1);//递归探索下一行
}
}
int main(){
cin>>n;
all=(1<<n)-1;//全选的状态 0-没选 1-选了
init();
dfs(0,0,0,0);
printf("%d",cnt);
return 0;
}